Wie funktioniert dieses Tool?
- Aufgabe wählen. Die fünf Zeilen oben decken alle Prozentfragen ab, die im Alltag vorkommen. Die Beschriftung der Eingabefelder passt sich der Auswahl an.
- Zwei Werte eingeben. Mehr braucht es nie — jede Prozentaufgabe bestimmt aus zwei bekannten Größen die dritte.
- Bei Zu- und Abschlägen die Richtung setzen. Der Rechner zeigt dann sowohl den veränderten Wert als auch die absolute Differenz.
- Rechenweg lesen. Darunter steht die verwendete Formel mit deinen Zahlen eingesetzt. Das ist der eigentliche Zweck: Eine Zahl, die du nicht begründen kannst, nützt in Diskussionen nichts.
Expertenwissen: Prozentrechnung
Drei Größen, eine Gleichung
Die gesamte Prozentrechnung besteht aus drei Begriffen. Der Grundwert ist das Ganze und entspricht 100 %. Der Prozentwert ist der Anteil davon als absolute Zahl. Der Prozentsatz beschreibt das Verhältnis der beiden. Bei 19 % von 250 € ist 250 € der Grundwert, 47,50 € der Prozentwert und 19 % der Prozentsatz.
Alle drei sind Umformungen derselben Gleichung. Wer sich eine merkt, kann die anderen beiden herleiten — deshalb ist die verbreitete Angst vor Prozentaufgaben weniger ein Rechen- als ein Zuordnungsproblem: Die eigentliche Schwierigkeit besteht darin, im Text zu erkennen, welche Zahl der Grundwert ist.
Prozent oder Prozentpunkte — der folgenreichste Unterschied
Steigt ein Zinssatz von 2 % auf 3 %, dann ist das ein Anstieg um einen Prozentpunkt — und gleichzeitig ein Anstieg um 50 Prozent. Beide Aussagen sind korrekt und beschreiben denselben Vorgang.
Genau deshalb wird der Unterschied so häufig ausgenutzt. Wer eine Veränderung klein wirken lassen will, nennt Prozentpunkte; wer sie groß wirken lassen will, nennt Prozent. Als Faustregel: Prozentpunkte beschreiben die Differenz zweier Prozentangaben, Prozent die relative Veränderung. Wo von Arbeitslosenquoten, Zinssätzen, Wahlergebnissen oder Marktanteilen die Rede ist, lohnt der zweite Blick auf die Wortwahl.
Warum plus 50 % und minus 50 % nicht zum Ausgangswert zurückführen
Aus 100 werden nach einem Zuschlag von 50 % genau 150. Ein Abschlag von 50 % auf diese 150 ergibt aber 75, nicht 100. Der Grund: Die zweite Prozentangabe bezieht sich auf den bereits veränderten Wert, nicht mehr auf den ursprünglichen.
Prozentuale Veränderungen sind deshalb nicht symmetrisch. Um von 150 wieder auf 100 zu kommen, braucht es einen Abschlag von 33,33 %. Allgemein gilt: Wer um p Prozent gestiegen ist, muss um p / (100 + p) × 100 Prozent fallen, um wieder am Ausgangspunkt zu sein. Dieselbe Asymmetrie erklärt, warum ein Aktienkurs nach einem Verlust von 50 % ganze 100 % zulegen muss, um den Verlust auszugleichen.
Rabatte zurückrechnen
Der zweithäufigste Fehler nach den Prozentpunkten: Aus einem reduzierten Preis den Ausgangspreis ermitteln, indem man den Rabattsatz wieder aufschlägt. Bei 20 % Rabatt und 80 € Endpreis führt das zu 96 € — falsch. Richtig wird durch den Faktor 0,8 geteilt: 80 ÷ 0,8 = 100 €.
Der Faktor ist bei Abschlägen 1 − p/100 und bei Zuschlägen
1 + p/100. Multiplizieren führt vorwärts, dividieren rückwärts.
Dieselbe Logik gilt bei der Umsatzsteuer, wo der Faktor 1,19 beziehungsweise
1,07 lautet.
Drei Praxisfälle
Fall 1 – Gehaltsverhandlung. Von 3.800 € auf 4.100 € sind 300 ÷ 3.800 × 100 = 7,89 % mehr. Der umgekehrte Blick lohnt ebenso: Wer 6 % fordert und 3 % bekommt, hat nicht „die Hälfte“ verloren, sondern liegt bei einem Grundwert von 3.800 € um 114 € monatlich unter dem Ziel.
Fall 2 – Preisschild im Schaufenster. „30 % reduziert, jetzt 69 €.“ Der Ausgangspreis war 69 ÷ 0,7 = 98,57 €. Steht daneben ein durchgestrichener Preis von 129 €, entspricht das keinem Rabatt von 30 %, sondern von 46,5 % — oder der durchgestrichene Preis war nie ein Verkaufspreis.
Fall 3 – Wachstum über mehrere Perioden. Drei Jahre je 10 % Wachstum ergeben nicht 30 %, sondern 33,1 %, weil sich der Zuwachs jeweils auf den bereits gewachsenen Wert bezieht (1,1³ = 1,331). Bei längeren Zeiträumen und Zinsen wird dieser Effekt zum eigentlichen Hebel.
Typische Fehler
- Prozent und Prozentpunkte vermischen — siehe oben, mit Abstand der folgenreichste.
- Bei der Veränderung durch den neuen statt durch den alten Wert teilen. Von 80 auf 100 sind es 25 % Anstieg, nicht 20 %.
- Prozentsätze addieren. Zwei Rabatte von je 10 % ergeben 19 %, nicht 20 %.
- Rabatt durch Aufschlag zurückrechnen statt durch Division.
- Den Grundwert falsch zuordnen. „20 % mehr Inhalt“ bezieht sich auf die alte Packung, „20 % des Inhalts sind Zucker“ auf die neue.
- Durchschnitte von Prozentwerten bilden, ohne die unterschiedlichen Grundwerte zu gewichten.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Prozent und Prozentpunkten?
Prozentpunkte sind die Differenz zweier Prozentangaben, Prozent ist die relative Veränderung. Steigt ein Zinssatz von 2 auf 3 Prozent, so ist das ein Anstieg um einen Prozentpunkt, aber um 50 Prozent. Beide Aussagen sind richtig und beschreiben denselben Vorgang. Wer beides verwechselt, kann denselben Sachverhalt sehr klein oder sehr groß erscheinen lassen.
Warum komme ich nach plus 50 Prozent und minus 50 Prozent nicht wieder beim Ausgangswert an?
Weil sich die zweite Prozentangabe auf den bereits veränderten Wert bezieht. Aus 100 werden nach plus 50 Prozent 150, und minus 50 Prozent von 150 sind 75. Prozentuale Veränderungen sind nicht umkehrbar, indem man denselben Prozentsatz in die andere Richtung anwendet. Um von 150 wieder auf 100 zu kommen, braucht es einen Abschlag von 33,33 Prozent.
Wie rechne ich einen Rabatt zurück?
Der reduzierte Preis wird durch den Faktor geteilt, nicht mit dem Prozentsatz multipliziert. Bei 20 Prozent Rabatt lautet der Faktor 0,8. Ein Preis von 80 Euro nach Rabatt entspricht also 80 geteilt durch 0,8 gleich 100 Euro Ausgangspreis. Wer stattdessen 20 Prozent auf die 80 Euro aufschlägt, landet bei 96 Euro und damit falsch.
Wie berechne ich, um wie viel Prozent ein Wert gestiegen ist?
Die Differenz zwischen neuem und altem Wert wird durch den alten Wert geteilt und mit 100 multipliziert. Von 80 auf 100 sind das 20 geteilt durch 80 mal 100, also 25 Prozent Anstieg. Entscheidend ist, dass immer durch den Ausgangswert geteilt wird und nicht durch den neuen Wert. Wird durch den neuen Wert geteilt, kommen 20 Prozent heraus, und das beschreibt eine andere Frage.
Was bedeuten Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz?
Der Grundwert ist das Ganze und entspricht 100 Prozent. Der Prozentwert ist der Anteil davon, also die absolute Zahl. Der Prozentsatz ist das Verhältnis der beiden, angegeben in Prozent. Bei 19 Prozent von 250 Euro ist 250 Euro der Grundwert, 47,50 Euro der Prozentwert und 19 Prozent der Prozentsatz. Jede Prozentaufgabe besteht darin, aus zwei dieser drei Größen die dritte zu bestimmen.
Weitere nützliche Tools
- Mehrwertsteuer-Rechner – Prozentrechnung mit 19 und 7 %
- Margen-Rechner – Marge und Aufschlag sind nicht dasselbe
- Skonto-Rechner – was der Skontoverzicht effektiv kostet
- Zinseszins-Rechner – Prozente über viele Perioden
- Inflationsrechner – Kaufkraft in Prozent